Abels identitet

Givet en homogen lineær andenordens differentialligning defineret på et interval $I$ $$y''+P(x)y'+Q(x)y=0$$ som har de to løsninger $y_1(x)$ og $y_2(x)$, kan den tilhørende Wronskian operator regnes som $$W(x)=W(x_0)\cdot e^{-\int_{x_0}^x p(t)\ dt}$$ for ethvert $x_0\in I$.

Hvis Wronskian operatoren er $0$, vil de to løsninger $y_1$ og $y_2$ være lineært afhængige - dvs. den ene løsning er proportionel med den anden løsning. Hvis Wronskian operatoren er forskellig fra $0$, er dette ikke være tilfældet.

Abels identitet siger, at Wronskian operatoren kun kan være $0$, hvis den er $0$ i et enkelt punkt. Derfor kan vi nøjes med at regne operatoren i et enkelt punkt, for at afgøre om løsningerne er proportinelle eller ej.

Bevis

Pr. defintion er Wronskian operatoren for $y_1$ og $y_2$ lig med $$W=y_1y'_2-y'_1y_2$$ Differentieres dette, får vi ved kædereglen at \begin{align*} W' &=y_1'y'_2+y_1y''_2- (y''_1y_2+y_1'y'_2) \\ &= y_1y''_2-y_1''y_2 \end{align*} I differentialligningen er $y''=-(py'+qy)$. Indsættes dette foroven, med de to løsninger, har vi at \begin{align*} W' &=y_1'y'_2+y_1y''_2- (y''_1y_2+y_1'y'_2) \\ &= -y_1(py_2'+qy_2)+(py_1'+qy_1)y_2 \\ &= -p(y_1y'_2-y'_1y_2) \\ &= -pW \end{align*} Men dette er en homogen lineær førsteordens differentialligning, som har løsningen $$W(x)=C\cdot e^{-P(x)}$$ Kender vi $w(x)$ i et specifikt punkt $x_0\in I$, får vi at $$W(x_0)= C\cdot e^{-P(x_0)}\ \ \ \Rightarrow\ \ \ C=W(x_0)\cdot e^{P(x_0)}$$ Og derfor er \begin{align*} W(x) &=W(x_0)\cdot e^{P(x_0)}e^{-P(x)} \\ &= W(x_0)\cdot e^{-\int_{x_0}^x p(t)\ dt} \\ \end{align*}