Buffons nåle

Buffons nåle omhandler geometri og sandsynlighedsregning og er en metode at estimere $\pi$ på: Forestil du tilfældigt kaster en nål på et linejeret stykke papir. Sandsynlighed for at nålen rører en af linjerne er nemlig relateret til tallet $\pi$. Helt specifikt kan sandsynligheden $p$ regnes som $$p = \frac{2\cdot L}{\pi\cdot T}$$ Her er $L$ længden på nålen, og $T$ er afstanden mellem to linjer på det linejeret papir.

At estimere $\pi$

Fra ovenstående formel, får vi altså at $$\pi = \frac{2\cdot L}{T\cdot p}$$ Antag derefter at vi smider $n$ forskellige nåle (alle af samme længde) på papireret, og $h$ af disse nåle rører en linje. $p$ må derfor kunne estimeres med værdien $\frac{h}{n}$, og derfor kan $\pi$ altså estimeres ved $$\pi=\frac{2\cdot L\cdot n}{T\cdot h}$$

Vi vil forneden kigge på en simpel udgange af Buffons nåle, og give et bevis i dette tilfædlde.

Bevis når $L=1$ og $T=2$

Vi antager i dette tilfælde at både nålens længde er $1$ enhed og afstanden mellem linjerne er $2$ enheder. Dette gør beregningerne noget lettere.

Vi kaster en nål som vist forneden

og definerer flg: Den korteste afstand fra nålens midtpunkt til den nærmeste linje kaldes for $d$, og vinklen ift. den vandrette linje kaldes for $v$. Bemærk her at $0\leq d\leq 1$ og $0\leq v\leq \frac{\pi}{2}$ målt i radianer.

Den lodrette afstand fra den stiplet linje til nålens endepunkt er $\frac{1}{2}\cdot \sin(v)$, da hypotenusen i den trekant, som fremkommer må være $\frac{1}{2}$. Det vil sige at nålen rører en af linjerne, hvis denne afstand er større end $d$, dvs. hvis $$d\leq \frac{1}{2}\cdot \sin(v)$$ Vi kan forstå dette grafisk, som arealet mellem førsteaksen og grafen for $f(v)=\frac{1}{2}\cdot \sin(v)$. Derfor må sandsynligheden for at nålen rører en linje være lig med $$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{2}\cdot\sin(v)\ dv=\frac{1}{\pi}$$ som stemmer overens med formlen.

Buffons nåle

At estimere \(\pi\)

Bevis når \(L=1\) og \(T=2\)