Cyklotomiske polynomier
De \(n\) enhedsrødder er de \(n\) forskellige løsninger til ligningen \(x^n-1=0\). Vi angiver dem som
$$\omega_1,\ \ \ \omega_2,\ \ \ \omega_3,\ \ \ \ldots,\ \ \ \omega_{n-1},\ \ \ \omega_n$$
Vi definerer at enhedsrødderne har flg. egenskaber
- \(\omega_k^n=1\) for \(k\leq n\)
- \(\omega_{n/2}=-1\)
- \(\omega_a\cdot\omega_b=\omega_{a+b}\)
Heraf kan man udlede flg.
- \(\omega_a^b=\omega_{a\cdot b}\)
- \(\omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_{n-1}=-1\)
- \(\omega_1\cdot\omega_2\cdot\ldots\cdot\omega_{n-1}=(-1)^{n-1}\)
Den fjerde egenskab følger af den tredje egenskab. Den femte og sjette egenskab vises forneden
Bevis
For den \(n\)'te enhedsrod \(\omega_1\) har vi at der gælder flg.
\begin{align*}
1+\omega_1+\omega_2+\ldots+\omega_{n-1} &= 1+\omega_1+\omega_1^2+\ldots+\omega_1^{n-1} \\
&= \frac{1-\omega_1^n}{1-\omega_1} \\
&= 0
\end{align*}
da vi kan se ovenstående som en endelig geometrisk række.
Derudover er
\begin{align*}
\omega_1\cdot\omega_2\cdot\ldots\cdot\omega_{n-1} &= \omega_1\cdot\omega_1^2\cdot\ldots\cdot\omega_1^{n-1} \\
&= \omega_1^{1+2+\dots+(n-1)} \\
&= \omega_1^{\frac{(n-1)\cdot n}{2}} \\
&= (\omega_1^\frac{n}{2})^{n-1} \\
&= (-1)^{n-1}
\end{align*}
som følger af at \(\sum_{i=1}^ni=\frac{n\cdot(n+1)}{2}\).
Vi definerer nu det \(n\)'te cyklotomiske polynomium som flg.
$$\Phi_n(x)=\prod_{(k,n)=1} (x-\omega_k)$$
Her betyder \((k,n)=1\) at \(k\) og \(n\) er indbyrdes primiske. At være indbyrdes primisk, betyder at der ikke findes noget primtal, som deler både \(k\) og \(n\).
F.eks. gælder der at
\begin{align*}
\Phi_3(x) &= (x-\omega_1)\cdot (x-\omega_2) \\
&=x^2-(\omega_1+\omega_2)\cdot x +\omega_1\cdot \omega_2 \\
&=x^2-(-1)\cdot x+\omega_3 \\
&= x^2+x+1
\end{align*}
Og
\begin{align*}
\Phi_4(x) &=(x-\omega_1)\cdot (x-\omega_3) \\
&=x^2-(\omega_1+\omega_3)\cdot x +\omega_1\cdot\omega_3 \\
&=x^2-(-\omega_2-1)\cdot x +\omega_1\cdot\omega_3 \\
&=x^2-(-(-1)-1)\cdot x +\omega_1\cdot\omega_3 \\
&=x^2-0\cdot x+\omega_4 \\
&=x^2+1
\end{align*}
Da \(x^n-1\) netop kan skrives som et produkt af \((x-\omega_k)\) for \(1\leq k\leq n\), får vi at
$$x^n-1=\prod_{k|n}\Phi_k(x)$$
Her betyder \(k|n\) at \(k\) skal dele \(n\).
Dette kan bruges som en alternativ måde til at finde cyklotomiske polynomier på. Vi har f.eks. at
\begin{align*}
x^5-1 &= \Phi_1(x)\cdot\Phi_5(x) \\
&= (x-1)\cdot \Phi_5 \\
\end{align*}
hvoraf
$$\Phi_5(x) =\frac{x^5-1}{x-1}$$
Ved så at udføre polynomier division, kan man finde at
$$\Phi_5(x)=x^4+x^3+x^2+x^1+1$$