Løsninger til differentialligninger

Bevis

Vi viser først, at \(y = c\cdot e^{k\cdot x}\) faktisk løser differentialligningen. Dette er netop tilfældet da \begin{align*} y' &= k\cdot c\cdot e^{k\cdot x} \\ &= k\cdot (c\cdot e^{k\cdot x}) \\ &= k\cdot y \end{align*} Vi viser herefter, at hvis en \(y\) er en løsning, så må \(y=c\cdot e^{k\cdot x}\). Bemærk at pr. produktreglen, så er \begin{align*} \left(y\cdot e^{-k\cdot x}\right)' &= y'\cdot e^{-k\cdot x}+y\cdot (-k\cdot e^{-k\cdot x}) \\ &= (k\cdot y)\cdot e^{-k\cdot x}+y\cdot (-k\cdot e^{-k\cdot x}) \\ &= k\cdot y\cdot e^{-k\cdot x}-k\cdot y\cdot e^{-k\cdot x} \\ &= 0 \end{align*} Et udtryk, som differentieres til \(0\), må være konstant. Dvs. $$y\cdot e^{-k\cdot x} = c\Rightarrow y=c\cdot e^{k\cdot x}$$ for en konstant \(c\in\mathbb{R}\).

Bevis

Vi viser først, at \(y = \frac{b}{a}+c\cdot e^{-a\cdot x}\) faktisk løser differentialligningen. Dette er netop tilfældet da \begin{align*} y'&=-a\cdot c\cdot e^{-a\cdot x} \\ &= b-b-a\cdot c\cdot e^{-a\cdot x} \\ &= b - a\cdot \left(\frac{b}{a} + c\cdot e^{-a\cdot x}\right) \\ &= b - a\cdot y \end{align*} Vi viser herefter, at hvis en \(y\) er en løsning, så må \(y=\frac{b}{a}+c\cdot e^{-a\cdot x}\).

Vi indfører flg. funktion \(t=y-\frac{b}{a}\). Bemærk at \(t'=y'\), så \begin{align*} t' &= y' \\ &= b - a\cdot y \\ &= -a\cdot \left(y-\frac{b}{a}\right) \\ &= -a\cdot t \end{align*} Der gælder altså at \(t'=-a\cdot t\). Denne differentialligning har løsningen \(t=c\cdot e^{-a\cdot x}\), og dermed er \begin{align*} y &= \frac{b}{a}+t \\ &= \frac{b}{a}+ c\cdot e^{-a\cdot x} \end{align*} for en konstant \(c\in\mathbb{R}\).