Regneregler for differentation
Vi siger, at en funktion \(f(x)\) er differentiabel i et punkt \((x,f(x))\) med \(f'(x)=\bigl(f(x)\bigr)'\), hvis
$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\rightarrow f'(x)$$
når \(h\rightarrow 0\). Med andre ord, hvis grænseværdien \(f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\) findes.
Hvis \(f(x)\) er differentiabel i alle punkter i sin definitionsmængde, så siges \(f(x)\) at være differentiabel.
Her kan du finde bevis for flg. regler
Sumreglen
Hvis \(f(x)\) og \(g(x)\) er to differentiable funktioner, så er
$$\Bigl(f(x)+g(x)\Bigr)'=f'(x)+g'(x)$$
Bevis
For alle \(x\) gælder der at
\begin{align*}
\frac{f(x+h)+g(x+h)-\left(f(x)+g(x)\right)}{h} &= \frac{f(x+h)-f(x)+g(x+h)-g(x)}{h} \\
&= \frac{f(x+h)-f(x)}{h} + \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\
&\rightarrow f'(x) + g'(x)
\end{align*}
for \(h\rightarrow 0\).
Bemærk at der gælder tilsvarende for differensen mellem to funktioner.
Konstantreglen
Hvis \(f(x)\) er en differentiabel funktion, \(k\in\mathbb{R}\), så er
$$\Bigr(k\cdot f(x)\Bigl)' = k\cdot f'(x)$$
Bevis
For alle \(x\) gælder der at
\begin{align*}
\frac{k\cdot f(x+h)-k\cdot f(x)}{h} &= \frac{k\cdot(f(x+h)-f(x))}{h} \\
&= k\cdot \frac{f(x+h)-f(x)}{h} \\
&\rightarrow k\cdot f'(x)
\end{align*}
for \(h\rightarrow 0\).
Produktreglen
Hvis \(f(x)\) og \(g(x)\) er to differentiable funktioner, så er
$$\Bigl(f(x)\cdot g(x)\Bigr)'=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$$
Bevis
For alle \(x\) gælder der at
\begin{align*}
\frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)}{h} &= \frac{f(x+h)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g(x+h)-f(x)\cdot g(x+h)}{h} \\
&= \frac{\left(f(x+h)-f(x)\right)\cdot g(x+h)+f(x)\cdot \left(g(x+h)-g(x)\right)}{h} \\
&= \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x+h) + f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h} \\
&\rightarrow f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)
\end{align*}
for \(h\rightarrow 0\).
Kædereglen
Hvis \(f(x)\) og \(g(x)\) er to differentiable funktioner, så er
$$\Bigl(f(g(x))\Bigr)'=g'(x)\cdot f'(g(x))$$
Bevis
For alle \(x\) gælder der at
\begin{align*}
\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h} &= \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{g(x+h)-g(x)} \\
&= \frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{g(x+h)-g(x)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}
\end{align*}
Hvis vi sætter \(y=g(x)\) og \(k=g(x+h)-g(x)\), så er \(g(x+h)=y+k\), og ovenstående bliver til
$$\frac{f(y+k)-f(y)}{k}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\rightarrow f'(g(x))\cdot g'(x)$$
for \(h\rightarrow 0\).
Kvotientreglen
Hvis \(f(x)\) og \(g(x)\) er to differentiable funktioner, så er
så er
$$\left(\frac{f(x)}{g(x)}\right)'=\frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{(g'(x))^2}$$
Bevis
For alle \(x\) gælder der at
\begin{align*}
\frac{\frac{f(x+h)}{g(x+h)}-\frac{f(x)}{g(x)}}{h} &= \frac{\frac{f(x+h)\cdot g(x)}{g(x+h)\cdot g(x)}-\frac{f(x)\cdot g(x+h)}{g(x)\cdot g(x+h)}}{h} \\
&= \frac{\frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{g(x+h)\cdot g(x)}}{h} \\
&= \frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h\cdot g(x)\cdot g(x+h)} \\
&= \frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)}{h}\cdot \frac{1}{g(x)\cdot g(x+h)} \\
&= \frac{f(x+h)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x+h)+f(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g(x)}{h}\cdot \frac{1}{g(x)\cdot g(x+h)} \\
&= \frac{(f(x+h)-f(x))\cdot g(x)-f(x)\cdot (g(x+h)-g(x))}{h}\cdot \frac{1}{g(x)\cdot g(x+h)} \\
&= \left(\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\cdot g(x)-f(x)\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}\right)\cdot \frac{1}{g(x)\cdot g(x+h)} \\
&\rightarrow \Bigl(f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)\Bigr)\cdot\frac{1}{(g'(x))^2}
\end{align*}
for \(h\rightarrow 0\).