\(e^\pi\) vs. \(\pi^{e}\)
Tallene \(e\) og \(\pi\) er nogle af de meste kendte irrationale tal. I talteori er det derfor helt naturligt, at lave vurderinger ved brug af størrelsen på disse to tal. Der gælder at
$$\pi^e \lt e^{\pi}$$
Forneden vil vi vise dette, uden direkte at beregne de to størrelser.
Bemærk at \(f(x)=\frac{1}{x}\) er en strengt aftagende funktion i intervallet \([e,\pi]\). Derfor må der gælde at
\begin{align*}
\int_e^\pi \frac{1}{x}\ dx &\lt f(e)\cdot (\pi-e) \\
\ln(\pi)-1&\lt \frac{\pi}{e}-1 \\
\ln(\pi) &\lt \frac{\pi}{e} \\
e\cdot\ln(\pi) &\lt \pi \\
\ln(\pi^e)&\lt {\pi} \\
\pi^e &\lt e^\pi
\end{align*}
Ved at Taylorudvikle \(e^x\), kan man vise at \(e^x\gt 1+x\) for alle \(x\gt 0\). Sætter vi \(x=\frac{\pi}{e}-1\gt 0\), har vi at
\begin{align*}
e^{\frac{\pi}{e}-1} &\gt \frac{\pi}{e} \\
e^{\frac{\pi}{e}} &\gt \pi \\
{(e^{\pi})}^\frac{1}{e} &\gt \pi \\
e^{\pi} &\gt \pi^e
\end{align*}
Lad \(f(x)=x^\frac{1}{x}\). Da er den afledte
$$f'(x)=x^\frac{1}{x}\cdot \left(x^\frac{1}{x^2}\right)\cdot (1-\ln(x))$$
I \(x=e\) har \(f(x)\) dermed et globalt maksimumspunkt da \(f'(x)\gt 0\) for \(x\lt e\) og \(f'(x)\lt 0\) for \(x\gt e\). Vi har derfor at
\begin{align*}
\pi^{\frac{1}{\pi}} &\lt e^{\frac{1}{e}} \\
\left(\pi^{\frac{1}{\pi}}\right)^{e\cdot \pi} &\lt \left(e^{\frac{1}{e}}\right)^{e\cdot \pi} \\
\pi^e &\lt e^\pi
\end{align*}