Afledte funktioner
Forneden findes en liste over elementære funktioners afledte funktioner samt beviser dertil. Beviserne gør brug af viden om grænseværdier samt
regnereglerne for at differentation.
Logaritmiske funktioner \(\log_a(x)\)
Hvis \(f(x)=\log_a(x)\) er den logaritmiske funktion med grundtal \(a\), så gælder der at
$$f'(x)=\frac{1}{\log(a)\cdot x}$$
Specielt for den naturlige logaritme, gælder der at
$$\left(\log(x)\right)'=\frac{1}{x}$$
Bevis
Vi viser først at \(\left(\log(x)\right)'=\frac{1}{x}\). Bemærk at
$$\left(e^{\log(x)}\right)' = \left(x\right)' = 1$$
Men der gælder også at
$$\left(e^{\log(x)}\right)' = \left(\log(x)\right)'\cdot e^{\log(x)} = \left(\log(x)\right)'\cdot x$$
Derfor er
$$\left(\log(x)\right)'\cdot x = 1 \Rightarrow \left(\log(x)\right)' = \frac{1}{x}$$
Ved at omskrive \(\log_a(x)=\frac{\log(x)}{\log(a)}\) og bruge ovenstående sammen med konstantrelgen fåes
$$f'(x) = \left(\frac{\log(x)}{\log(a)}\right)' = \frac{1}{\log(a)}\cdot \frac{1}{x} = \frac{1}{\log(a)\cdot x}$$
Potensfunktioner \(x^n\)
Hvis \(f(x)=x^n\) for et tal \(n\neq 0\), så gælder der at
$$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$$
Bevis
Bemærk at
$$f(x) = e^{\log(x^n)} = e^{n\cdot \log(x)}$$
Ved brug af kædereglen fåes
\begin{align*}
f'(x) &= \left(e^{n\cdot \log(x)}\right)' \\
&= n\cdot\frac{1}{x}\cdot e^{n\cdot \log(x)} \\
&= n\cdot\frac{1}{x}\cdot x^n \\
&= n\cdot x^{n-1}
\end{align*}
Eksponentielle funktioner \(a^x\)
Hvis \(f(x)=a^x\) for et tal \(a\geq 0\), så gælder der at
$$f'(x)=\log(a)\cdot a^x$$
Bevis
Bemærk at
$$f(x) = e^{\log(a^x)} = e^{x\cdot \log(a)}$$
Ved brug af kædereglen fåes
\begin{align*}
f'(x) &= \left(e^{x\cdot \log(a)}\right)' \\
&= \log(a)\cdot e^{x\cdot \log(a)} \\
&= \log(a)\cdot a^x \\
\end{align*}
Heraf følger der bl.a. at \(\left(e^x\right)'=e^x\).