Gabriels horn
Gabriels horn (eller Torricellis trumpet) er en geometrisk figur med et endeligt rumfang, men et uendeligt stort overfladeareal. Figuren blev første gang studeret af Evangelista Torricelli og er navngivet efter den kristne ærkeengel Gabriel, som eftersigende skulle blæse i hornet ved dommedag.
Konstruktion og beregninger
Gabriels horn konstureres ved tage omdrejningslegemet om x-aksen af funktionen \(f(x)=\frac{1}{x}\) i intervallet fra \(1\) til \(a>1\).
Vi starter med at beregne rumfanget
\begin{align*}
V &= \pi \int_1^a \left(\frac{1}{x}\right)^2\ dx \\
&= \pi\left[-\frac{1}{x}\right]_1^a \\
&= \pi \left(1-\frac{1}{a}\right)
\end{align*}
Ligeledes kan overfladearealet beregnes
\begin{align*}
O &= 2\pi \int_1^a \frac{1}{x}\sqrt{1+\left(-\frac{1}{x^2}\right)^2}\ dx \\
&> 2\pi\int_1^a \frac{1}{x}\ dx \\
&= 2\pi\cdot \left[\log(x)\right]_1^a \\
&= 2\pi\cdot \log(a)
\end{align*}
Lader vi nu \(a\rightarrow \infty\), ser vi at rumfanget \(V\rightarrow\pi\), imens \(O\rightarrow\infty\)
Det kan være fristende at spørge, hvorvidt det omvendte er muligt: Findes der et objekt, hvis overfladeareal er endeligt, men rumfang er uendeligt? Hvis objektet skal konstrueres vha. et omdrejningslegeme, så er dette ikke muligt.