Gamma funktionen

Bevis

Bemærk først at for \(p>0\) gælder der at \(\Gamma(p+1)=p\cdot \Gamma(p)\). Dette ses ved partiel integration \begin{align*} \Gamma(p+1) &= \int_0^\infty t^{p}e^{-t}\ dt \\ &= \bigl[-t^pe^{-t}\bigr]_0^\infty+\int_0^\infty p\cdot t^{p-1}e^{-t}\ dt \\ &= 0 + p\cdot \Gamma(p) \end{align*} For \(p=0\) er $$\Gamma(1)= \int_0^\infty t^{0}e^{-t}\ d=\bigl[-e^{-t}\bigr]_0^\infty=1$$ Derfor er \begin{align*} \Gamma(n) &= (n-1)\cdot\Gamma(n-1) \\ &=(n-1)\cdot(n-2)\cdot\Gamma(n-2) \\ &=\ldots \\ &=(n-1)\cdot(n-2)\cdot\ldots\cdot 2\cdot \Gamma(1) \\ &=(n-1)! \end{align*}

Bevis

Ved at substituere \(t=v^2\) får vi at \begin{align*} \Gamma(\frac{1}{2}) &=\int_0^\infty t^{-\frac{1}{2}}e^{-t}\ dt \\ &=\int_0^\infty v^{-1}e^{-v^2}2v\ dv \\ &=2\int_0^\infty e^{-v^2}\ dv \\ &=\int_{-\infty}^\infty e^{-v^2}\ dv \\ &=\sqrt{\pi} \end{align*} Sidste lighed kommer af det Gaussiske integral. Der gælder nemlig at \begin{align*} \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-v^2}\ dv\right)^2 &= \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\ dx\right)\cdot \left(\int_{-\infty}^\infty e^{-y^2}\ dy\right) \\ &= \int_{-\infty}^\infty \int_{-\infty}^\infty e^{-(x^2+y^2)}\ dx\ dy \\ &= \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{\infty} r\cdot e^{-r^2}\ dr\ d\phi \\ &= \int_{0}^{2\pi} \bigl[-\frac{1}{2}e^{-r^2}\bigr]_0^\infty\ d\phi \\ &= \frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} d\phi \\ &= \pi\ \end{align*} Her omskrev vi til polære koordinater i tredje lighed.