Den geometriske række
Den geometriske række er den uendelig sum
$$\sum_{k=0}^\infty a\cdot r^k=a+a\cdot r+a\cdot r^2+\dots$$
I tilfældet af at \(|r|<1\) vil rækken konvergere med
$$\sum_{k=0}^\infty a\cdot r^k=\frac{a}{1-r}$$
Bevis
For at bevise ovenstående definerer vi delsummen bestående af de \(n\) første led fra den geometriske række
$$S_n=a+a\cdot r+a\cdot r^2+\dots+a\cdot r^{n-2}+a\cdot r^{n-1}$$
Bemærk at
$$S_n-r\cdot S_n=a-a\cdot r^n$$
Heraf gælder der at
$$S_n\cdot (1-r)=a-a\cdot r^n$$
hvoraf
$$S_n=\frac{a\cdot (1-r^n)}{1-r}$$
Når \(|r|<1\) vil \(\lim_{n\rightarrow\infty}r^n=0\), så
$$\lim_{n\rightarrow\infty}S_n=\frac{a}{1-r}$$
Dermed gælder der f.eks. at
$$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\dots=\frac{1}{1-(-\frac{1}{2})}=\frac{2}{3}$$