Logaritmisk differentiation
Logaritmisk differentiation er en teknik, som benytter logaritmer (og tilhørende regneregler til at finde afledte funktioner. Vi observerer først, at for en differentiabel funktion \(f(x)\) gælder der at
$$\Bigl(\log\bigl(f(x)\bigr)\Bigr)'=\frac{f'(x)}{f(x)}$$
Forneden udnytter vi dette til at vise en række regneregler for differentialkvotienter.
Funktioner i eksponenten
Givet en funktion på formen
$$f(x)=g(x)^{h(x)}$$
kan vi ved hjælp af logaritmeregneregler skrive
$$\log(x)=h(x)\cdot \log(g(x))$$
Ved at differentiere og benytte produkt- og kædereglen, får vi at
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=h'(x)\cdot \log(g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)}$$
Vi kan omskrive dette og få en formel, for den afledte til \(f(x)\)
\begin{align*}
f'(x) &= f(x)\cdot\left(h'(x)\cdot \log(g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)}\right) \\
&= g(x)^{h(x)}\cdot\left(h'(x)\cdot \log(g(x))+h(x)\cdot \frac{g'(x)}{g(x)}\right)
\end{align*}
Ovenstående formel har mangler anvendelser, når man skal finde afledte funktioner - en af de mest kendte er måske \(\left(x^x\right)'=x^x\cdot\left(\log(x)+1\right)\).
Produkt- og kvotientreglen
Givet \(f(x)=g(x)\cdot h(x)\) kan vi skrive
$$\log(f(x))=\log(g(x))+\log(h(x))$$
Ved at differentiere på begge sider af lighedstegnet, fåes
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}$$
hvoraf
\begin{align*}
f'(x) &= f(x)\cdot\left(\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\right) \\
&= g(x)\cdot h(x)\cdot\left(\frac{g'(x)}{g(x)}+\frac{h'(x)}{h(x)}\right) \\
&= g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
\end{align*}
hvilket er produktreglen.
Vi kan ligeledes bevise kvotientreglen. Givet \(f(x)=\frac{g(x)}{h(x)}\) kan vi skrive
$$\log(f(x))=\log(g(x))-\log(h(x))$$
Ved at differentiere på begge sider af lighedstegnet, fåes
$$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}$$
hvoraf
\begin{align*}
f'(x) &= f(x)\cdot\left(\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\right) \\
&= \frac{g(x)}{h(x)}\cdot\left(\frac{g'(x)}{g(x)}-\frac{h'(x)}{h(x)}\right) \\
&= \frac{g'(x)}{h(x)}-\frac{h'(x)\cdot g(x)}{(h(x))^2} \\
&= \frac{g'(x)\cdot h(x)-h'(x)\cdot g(x)}{(h(x))^2} \\
\end{align*}
hvilket er kvotientreglen.