Nulreglen over \(\mathbb{C}\)
Nulreglen over de reelle tal siger flg:
$$a\cdot b=0\Rightarrow a=0 \vee b=0$$
Med andre ord: Hvis et produkt giver 0, så må en af faktorerne være 0.
Der gælder det tilsvarende over de komplekse tal.
$$z,w\in\mathbb{C}\ :\ z\cdot w=0 \Rightarrow z=0\vee w=0$$
Forneden giver vi et algebraisk bevis og et geometrisk bevis.
Bevis
Vi starter med et algebraisk bevis. Lad \(z,w\in\mathbb{C}\) så kan vi skrive
$$z=a+bi$$
$$w=c+di$$
for \(a,b,c,d\in\mathbb{R}\). Vi udregner
$$z\cdot w=(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bd)\cdot i$$
Hvis dette giver 0, må både reel- og imaginærdelen give 0. Dvs.
$$ac-bd=0\Rightarrow ac=bd$$
$$ad+bc=0$$
Uden tab af generalitet, vil vi vise at når \(z\neq 0\) så er \(w=0\).
Hvis vi antager at \(a\neq 0\), kan vi gange \(ac=bd\) igennem med \(c\) og \(ad+bd=0\) igennem med \(d\) og få
$$ac^2=bcd$$
$$ad^2+bcd=0$$
hvoraf
\begin{align*}
ad^2+bcd &= 0 \\
ad^2+ac^2 &= 0 \\
a\cdot (d^2+c^2) &= 0 \\
d^2+c^2&=0
\end{align*}
og da både \(c\) og \(d\) er reelle tal, så må \(c=d=0\), hvilket betyder at \(w=0\).
Hvis vi i stedet antager at \(b\neq 0\), kan vi gange \(ac=bd\) igennem med \(d\) og \(ad+bd=0\) igennem med \(c\) og få
$$acd=bd^2$$
$$acd+bc^2=0$$
hvoraf
\begin{align*}
acd+bc^2 &= 0 \\
bd^2+bc^2 &= 0 \\
b\cdot (d^2+c^2) &= 0 \\
d^2+c^2 &= 0
\end{align*}
og da både \(c\) og \(d\) er reelle tal, så må \(c=d=0\), hvilket betyder at \(w=0\).
For et geometrisk bevis, kan det være smart at betragte modulus af de komplekse tal. Hvis \(z\cdot w=0\), så må \(|z\cdot w|=|z|\cdot|w|=0\). Men dette betyder at \(|z|=0\) eller \(|w|=0\), hvoraf \(z=0\) eller \(w=0\).