P-adiske valueringer

En P-adiske valuering af et tal $n$ er eksponenten af det primtal $p$, som indgår i primtalsfaktoriseringen af $n$. Med andre ord, så beskriver den p-adiske valuering hvor deleligt et tal er.

For et tal $x\in\mathbb{Z}$ forskelligt fra $0$, og et primtal $p$, definerer vi den p-adiske valuering, som det unikke tal $v_p(x)$, der opfylder at $$x=p^{v_p(x)}\cdot t$$ hvor $t\in\mathbb{Z}$. Vi definerer derudover at $v_p(0)=\infty$ for alle primtal $p$.

Den p-adiske valuering udvides til de ratinale tal på flg. måde: For et tal $x\in\mathbb{Q}$ forskelligt fra 0, hvor $x=\frac{a}{b}$ og $a,b\neq 0\in\mathbb{Z}$, så er $$v_p(x)=v_p(a)-v_p(b)$$ F.eks. er $$v_2\left(\frac{12}{15}\right)=v_2(12)-v_2(15)=2-0=2$$ $$v_3\left(\frac{12}{15}\right)=v_3(12)-v_3(15)=1-1=0$$ Da $12=2^2\cdot 3^1$ og $15=2^0\cdot 3^1\cdot 5^1$.

Den p-adiske valuering har flg. egenskaber:

$v_p(x\cdot y)=v_p(x)+v_p(y)$
$v_p(x+y)\geq \min\{v_p(x),v_p(y)\}$

Forneden vises den første egenskab.

Bevis

Hvis $x=0$ eller $y=0$ så er $v_p(x\cdot y)=v_p(0)=\infty$, og $v_p(x)+v_p(y)=\infty$, og derfor holder den første egenskab. Vi antager derfor at både $x=\frac{a}{b}$ og $y={c}{d}$ er forskellig fra $0$.

Siden $x\cdot y=\frac{ac}{bd}$ så er $v_p(xy)=v_p(ac)-v_p(bd)$, og da $a,c\in\mathbb{Z}$, så er $a=p^{v_p(a)}\cdot t_1$ og $c=p^{v_p(c)}\cdot t_2$ for $t_1,t_2\in\mathbb{Z}$. Dermed er \begin{align*} a\cdot c &= (p^{v_p(a)}\cdot t_1)\cdot (p^{v_p(c)}\cdot t_2) \\ &= p^{v_p(a)+v_p(c)}\cdot (t_1 t_2) \end{align*} Derfor gælder der at $v_p(ac)=v_p(a)+v_p(c)$. På tilsvarende vis gælder at $v_p(bd)=v_p(b)+v_p(d)$. Dermed er \begin{align*} v_p(xy) &= v_p(ac)-v_p(bd) \\ &= v_p(a) + v_p(c) - (v_p(b) + v_p(d)) \\ &= v_p(a) - v_p(b) + (v_p(c) - v_p(d)) \\ &= v_p(x) + v_p(y) \end{align*}

Legendre viste at der gælder flg. formel $$v_p(n!)=\sum_{i=1}^\infty \left\lfloor{\frac{n}{p^i}}\right\rfloor$$ hvor $\lfloor x\rfloor$ runder $x$ ned til det nærmeste heltal. Bemærk derfor at summen så reduceres til en endelig sum da $\left\lfloor{\frac{n}{p^i}}\right\rfloor=0$ når $p^i\gt n$.

Der gælder f.eks. at $8!=40320$ og derfor er \begin{align*} v_2(8!) &= \sum_{i=1}^\infty \left\lfloor{\frac{8}{2^i}}\right\rfloor \\ &= \left\lfloor{\frac{8}{2}}\right\rfloor + \left\lfloor{\frac{8}{4}}\right\rfloor + \left\lfloor{\frac{8}{8}}\right\rfloor \\ &= 4 + 2 + 1 \\ &= 7 \end{align*} Dette stemmer overens med at $40320 = 2^7\cdot 3^2\cdot 5\cdot 7$.