Stigeproblemer

Stige og kasse

En kubisk kasse med sidelængde \(a\), placeres op ad en væg. En stige med længde \(L\) læner op ad vægen, og rører netop kassens kant. I hvilken højde rører stigen, vægen?

Til at løse dette problem indfører vi størrelserne \(x\) og \(y\), som vist på figuren forneden. Af Pythagoras læresætning gælder der at $$L^2=(a+x)^2+(a+y)^2$$ På figuren foroven ser vi to ensvinklede trekanter, så der gælder at $$\frac{y}{a}=\frac{a}{x} \Rightarrow y=\frac{a^2}{x}$$ Heraf får vi at \begin{align*} L^2 &= (a+x)^2+(a+y)^2 \\ &= (a+x)^2+\left(a+\frac{a^2}{x}\right)^2 \\ &= a^2+x^2+2a\cdot x+a^2+\left(\frac{a^2}{x}\right)^2 + 2a\cdot \frac{a^2}{x} \\ &= 2a^2+x^2+2a\cdot x+\frac{a^4}{x^2} + 2a\cdot \frac{a^2}{x} \\ \end{align*} Ganger vi igennem med \(x^2\) får vi at $$L^2 =2a\cdot x^2+x^4+2a\cdot x^3+a^4+2a^3\cdot x$$ som kan omskrives til $$x^4+2a\cdot x^3+(2a^2-L^2)\cdot x^2+2a^3\cdot x+a^4=0$$ Dette er en fjerdegradsligning i \(x\). Ligningen kan enten løses analytisk eller numerisk, hvorefter man kan beregne \(h\) ved $$h=a+\frac{a^2}{x}$$

Krydsende stiger

To stiger af længde \(a\) og \(b\) læner sig op ad hver sin væg. De krydser hinanden i punkt af en højde \(h\). Hvad er afstanden \(d\) imellem de to vægge?

Til at løse dette problem indfører vi størrelserne \(A\), \(B\), \(d_1\) og \(d_2\), som vist på figuren forneden. Af Pythagoras læresætning gælder der at $$A^2+d^2=a^2,\ \ \ \ B^2+d^2=d^2$$ som giver at $$a^2-b^2=A^2-B^2$$ På figuren foroven, er der to sæt af to ensvinklede trekanter, og derfor gælder der at $$\frac{B}{d}=\frac{h}{d_1},\ \ \ \ \frac{A}{d}=\frac{h}{d_2}$$ Bemærk at \(d=d_1+d_2\), så kombinere vi dette med ovenstående, får vi at $$d = d_1 + d_2 =\frac{h\cdot d}{B} + \frac{h\cdot d}{A}$$ hvoraf $$\frac{1}{A}+\frac{1}{B} = \frac{1}{h} \Rightarrow A\cdot h+B\cdot h=A\cdot B$$ Benytter vi \(a^2-b^2=A^2-B^2\), får vi \begin{align*} A\cdot h &= A\cdot B-B\cdot h \\ &= B\cdot(A-h) \\ &= \sqrt{A^2-a^2+b^2}\cdot (A-h) \end{align*} eller \begin{align*} (A\cdot h)^2 &= \left(\sqrt{A^2-a^2+b^2}\cdot (A-h)\right)^2 \end{align*} som kan reduceres til $$A^4-2h\cdot A^3+(h-A)^2\cdot (b^2-a^2)=0$$ Dette er en fjerdegradsligning i \(A\). Ligningen kan enten løses analytisk eller numerisk, hvorefter man kan beregne \(d\) ved $$d=\sqrt{a^2-A^2}$$

Stigen i gangen

En gang med bredde \(a\) og en gang med bredde \(b\), møder hinanden i en ret vinkel. Hvad er længden \(L\), på den længste stige, som man kan dreje om hjørnet?

Til at løse dette problem indfører vi størrelserne \(x\) og \(y\), som vist på figuren forneden. Den længste stige, som man kan dreje om hjørnet, må være den korteste stige, som lige præcis sidder fast, når man forsøger at dreje den. Vi forsøger derfor at minimere længde på den linje mellem de to ydre vægge, som rører det indre hjørne.

Af Pythagoras læresætning gælder der at $$L^2=(a+x)^2+(b+y)^2$$ På figuren foroven ser vi to ensvinklede trekanter, så der gælder at $$\frac{y}{a}=\frac{b}{x} \Rightarrow y=\frac{ab}{x}$$ Heraf får vi at \begin{align*} L^2 &= (a+x)^2+(a+y)^2 \\ &= (a+x)^2+\left(a+\frac{ab}{x}\right)^2 \\ &= a^2+x^2+2a\cdot x+a^2+\left(\frac{ab}{x}\right)^2 + 2a\cdot \frac{ab}{x} \\ &= 2a^2+x^2+2a\cdot x+\frac{a^2b^2}{x^2} + \frac{2a^2b}{x} \\ \end{align*} Vi ønsker at finde minimere denne længde, for at finde den mest optimale løsning. Det kan f.eks. gøres ved at differentiere efter \(x\) og løse den resulterende funktion numerisk.