Tredjegradsligninger
En tredjegradslining, er en ligning at typen
$$a\cdot x^3+b\cdot x^2+c\cdot x+d=0$$
hvor \(a\neq 0,b,c,d\) er reelle koefficienter.
Cardanos metode
Forneden benyttes Cardanos metode til at løse tredjegradsligningen.
Det første vi ønsker at gøre, er at reducere ligningen. Dette kan gøres ved at udføre substitutionen \(x=y-\frac{b}{3a}\), dele med \(a\) og omskrive til en ligning af formen
$$y^3+Q\cdot y=R$$
Bevis
Vi sætter \(x=y-\frac{b}{3a}\) og får
\begin{align*}
a\left(y-\frac{b}{3a}\right)^3+b\left(y-\frac{b}{3a}\right)^2+c\left(y-\frac{b}{3a}\right)+d=0\\
a\cdot y^3-b\cdot y^2+\frac{b^2}{3a}\cdot y-\frac{b^3}{27a^2}+b\cdot y^2-\frac{2b^2}{3a}\cdot y+\frac{b^3}{9a^2}+c\cdot y-\frac{bc}{3a}+d=0\\
a\cdot y^3+\left(c-\frac{b^2}{2a}\right)\cdot y+\left(d+\frac{2b^3}{27a^2}-\frac{bc}{3a}\right)=0
\end{align*}
Herefter at vi kan dele alle led med \(a\), for at få den ønsket form.
Ligningen
$$y^3+Q\cdot y=R$$
har nu løsningsformlen
$$y=\sqrt[3]{\frac{R+\sqrt{R^2+\frac{4Q^3}{27}}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{-R+\sqrt{R^2+\frac{4Q^3}{27}}}{2}}$$
Dette tal vil man typisk bestemme ved lommeregner/CAS. Når ovenstående værdi af \(y\) er bestemt, kan man udregne \(x=y-\frac{b}{3a}\) for at få en løsning til den oprindelige tredjegradsligning. De to andre løsninger findes ved brug af polynomiers division.
Lad os prøve at se, hvorfor formlen foroven er korrekt.
Bevis
Vi sætter \(y=u+v\) i ligningen \(y^3+Qy=R\). Da får vi
\begin{align*}
(u+v)^3+Q(u+v)=R \\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+Q(u+v)=R \\
u^3+v^3+(Q+3uv)(u+v)=R
\end{align*}
Hvis vi antager at \(u^3+v^3=R\), så er enten \(Q+3uv=0\) eller \(u+v=0\). I tilfældet af at \(u+v=0\) er \(y=0\), så lad os se hvad der sker i det andet tilfælde.
$$Q+3uv=0 \Leftrightarrow v=-\frac{Q}{3u}$$
Indsættes dette i \(u^3+v^3=R\) fåes
\begin{align*}
u^3+\left(-\frac{Q}{3u}\right)^3&=R \\
u^3-\frac{Q^3}{27u^3}&=R \\
u^6-\frac{Q^3}{27}&=Ru^3 \\
u^6-Ru^3-\frac{Q^3}{27}&=0
\end{align*}
Erstatter vi nu \(t=u^3\) giver dette en andengradsligning. En løsning til denne andengradsligning kan findes vha. diskriminantformlen
$$u^3=t=\frac{R+\sqrt{R^2+\frac{4Q^3}{27}}}{2}$$
Da \(u^3+v^3=R\) så er
\begin{align*}
v^3 &= R-u^3 \\
&=R-t
\end{align*}
hvoraf \(v=\sqrt[3]{R-t}\). Vi har dermed at
\begin{align*}
y &= u+v \\
&=\sqrt[3]{t}+\sqrt[3]{R-t} \\
&=\sqrt[3]{t}-\sqrt[3]{-R+t} \\
&=\sqrt[3]{\frac{R+\sqrt{R^2+\frac{4Q^3}{27}}}{2}}-\sqrt[3]{\frac{-R+\sqrt{R^2+\frac{4Q^3}{27}}}{2}}
\end{align*}