Von Koch snefnug
Von Koch snefnug er et fraktal, som iterativt konstrueres på flg. måde:
- Start med en ligesidet trekant med sidelængde \(s\).
- Ved hver iteration opdeles hver side i tre lige store dele.
- Ud fra det midterste stykke på hver side dannes en ny ligesidet trekant.
Forneden ses den ligesidet trekant og snefnugget efter de 3 første iterationer.
Dette fraktal er en geomtrisk figur med et endeligt areal og en uendelig stor omkreds.
Omkreds
Omkredsen af snefnugget kan beskrives på flg. måde. Lad \(O_n\) betegne omkredsen af snefnugget efter \(n\) iterationer.
Til at starte med har vi en ligesidet trekant med sidelængde \(s\). Dvs. omkredsen er lig med
$$O_0=3\cdot s$$
Efter hver iteration, vil hver side opdeles i \(3\) lige store stykker og der dannes \(4\) sider. Dvs. antallet af sider efter \(n\) iterationer er lig med \(3\cdot 4^n\). Samtidig vil sidelængde blive \(1/3\) så stor hver gang. Dvs. at omkredsen efter \(n\) iterationer bliver
$$O_n=3\cdot s\cdot 4^n\cdot \frac{1}{3^n}=3\cdot s\cdot \left(\frac{4}{3}\right)^n$$
Da
$$\lim_{n\rightarrow\infty}O_n=\infty$$
har snefnugget altså en uendelig stor omkreds.
Areal
Lad \(A_n\) betegne arealet af snefnugget efter \(n\) iterationer. En ligesidet trekant med sidelængde \(s\) har arealet \(\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\). Dvs.
$$A_0=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2$$
Antallet af sider efter \(n-1\) iterationer er \(3\cdot 4^{n-1}\). Til hver af disse sider tilføjes der en trekant med sidelængde \(\left(s\cdot\frac{1}{3}\right)^n\). Ved den \(n\)'te iteration tilføjes altså flg. areal
$$\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot 3\cdot 4^{n-1}\cdot \left(s\cdot \frac{1}{3^n}\right)^2= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n}$$
Dermed er
\begin{align*}
A_n &=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2 + \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \frac{3}{9} + \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \frac{3\cdot 4}{9^2} + \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \frac{3\cdot 4^2}{9^3} + \dots + \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n} \\
&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \left(1+\frac{3}{9}+\frac{3\cdot 4}{9^2}+\frac{3\cdot 4^2}{9^3}+\dots +\frac{3\cdot 4^{n-1}}{9^n}\right) \\
&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \left(1+\sum_{k=1}^n \frac{3\cdot 4^{k-1}}{9^k}\right) \\
&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \left(1+\frac{3}{4}\sum_{k=1}^n \left(\frac{4}{9}\right)^k\right) \\
&= \frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \left(1+\frac{1}{3}\sum_{k=0}^{n-1} \left(\frac{4}{9}\right)^k\right) \\
\end{align*}
Bemærk at summen er en geometrisk række med \(\frac{4}{9}<1\) så
\begin{align*}
\lim_{n\rightarrow\infty} A_n &=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \left(1+\frac{1}{3}\sum_{k=0}^\infty \left(\frac{4}{9}\right)^k\right) \\
&=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \left(1+\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{4}{9}}\right) \\
&=\frac{\sqrt{3}}{4}\cdot s^2\cdot \frac{8}{5} \\
&=\frac{2\sqrt{3}}{5}\cdot s^2
\end{align*}
hvilket altså er et endeligt areal.
