Fjerdegradsligninger
En fjerdegradsligning, er en ligning at typen
$$a\cdot x^4+b\cdot x^3+c\cdot x^2+d\cdot x+e=0$$
hvor \(a\neq 0,b,c,d,e\) er reelle koefficienter.
Ferraris metode
Forneden benyttes Ferraris metode til at løse fjerdegradsligningen.
Det første vi ønsker at gøre, er at reducere ligningen. Dette kan gøres ved at dele med \(a\) og udføre substitutionen \(x=y-\frac{b}{4a}\). Derefter kan vi omskrive til en ligning af formen
$$y^4+P\cdot y^2+Q\cdot y+R=0$$
Bevis
Vi deler med \(a\) og udføre substitutionen \(x=y-\frac{b}{4a}\)
\begin{align*}
x^4+\frac{b}{a}\cdot x^3+\frac{c}{a}\cdot x^2+\frac{d}{a}\cdot x+\frac{e}{a}=0\\
\left(y-\frac{b}{4a}\right)^4+\frac{b}{a}\left(y-\frac{b}{4a}\right)^3+\frac{c}{a}\left(y-\frac{b}{4a}\right)^2+\frac{d}{a}\left(y-\frac{b}{4a}\right)+\frac{e}{a}=0\\
y^4+\left(\frac{8ac-3b^2}{8a^2}\right)\cdot y^2+\left(\frac{b^3-4abc+8a^2d}{8a^3}\right)\cdot y+\left(\frac{-3b^4+16ab^2c-64a^2bd+256a^3e}{256a^4}\right)=0
\end{align*}
Ud fra de bestemte værdier af \(P,Q,R\) findes den reelle løsning til tredjegradsligningen
$$z^3+2P\cdot z^2+(p^2-4r)\cdot z-Q^2=0$$
Kald denne løsning for \(z_0\). Bemærk her kan f.eks. bruge Cardanos metode (se
noter om tredjegradsligninger).
Når \(z_0\) er fundet foroven, findes flg. fire værdier af \(y\).
$$y=\frac{\sqrt{z_0}\pm\sqrt{z-2\left(P+z_0+\frac{Q}{\sqrt{z_0}}\right)}}{2}$$
og
$$y=\frac{-\sqrt{z_0}\pm\sqrt{z-2\left(P+z_0-\frac{Q}{\sqrt{z_0}}\right)}}{2}$$
Når ovenstående værdier af \(y\) er bestemt, kan man udregne \(x=y-\frac{a}{4}\) for at få en løsningerne til den oprindelige fjerdegradsligning.